Kurt Gödel quebrou tudo. O mais famoso de seus feitos foi quebrar a matemática com seu teorema da incompletude, mostrando que todo sistema formal contém afirmações verdadeiras que não podem ser provadas dentro do próprio sistema. Enquanto estudava para sua entrevista de naturalização americana, afirmou ter descoberto um meio legal pelo qual a república americana poderia ser quebrada e convertida numa ditadura fascista. Seu grande amigo Albert Einstein, junto com Oskar Morgenstern, insistiu em acompanhá-lo à entrevista na esperança de impedi-lo de revelar sua prova, o que ele quase fez mesmo assim.
E, por falar em Einstein, certa vez, como presente de aniversário, Gödel deu a Einstein um universo com máquina do tempo: uma solução para as equações de Einstein que provou que até a relatividade geral está quebrada.
Não é exagero dizer que Gödel e Einstein eram melhores amigos. O Einstein já envelhecido certa vez disse que a única razão pela qual continuava a aparecer em Princeton era para suas caminhadas com Gödel. Então, quando a ocasião do septuagésimo aniversário de Einstein se aproximou, não surpreende que Gödel tenha concordado entusiasticamente em contribuir para um livro de homenagens ao trabalho de Einstein. A princípio, Gödel pensou em escrever uma reflexão sobre a relação entre Einstein e o espaço-tempo e as ideias do filósofo Immanuel Kant. Como era seu costume, Gödel foi se aprofundando cada vez mais no assunto, e, no processo de escrever esse ensaio, chegou a compreender a relatividade geral tão bem quanto qualquer pessoa no mundo. E então tropeçou em algo profundamente inquietante: uma inconsistência no coração da teoria de seu melhor amigo. O prazo para o ensaio veio e passou, mas tão importante era a contribuição de Gödel que o livro precisou esperar até que a obsessão ficasse clara. Gödel havia encontrado uma solução para a equação de Einstein, o núcleo da relatividade geral, que prova que a teoria de Einstein, por si só, não garante uma cadeia limpa de causa e efeito como deveria. Ele havia construído uma métrica espaço-temporal, um universo, onde em todo ponto do espaço e do tempo existem laços de retorno que podem trazer você de volta a um local antes de você tê-lo deixado.
Ora, na época da descoberta de Gödel, já conhecíamos soluções para a equação de Einstein que permitem a viagem no tempo, mas todas elas exigem algo que pode ser considerado impossível: densidade de energia negativa. Basta então proibir esse ingrediente impossível, e as soluções quebradas desaparecem. Essa proibição é chamada de condição de energia fraca. Com a equação de Einstein somada à condição de energia fraca, um universo determinístico com ordenação causal inequívoca parecia garantido. Isso é, até Gödel. Ele encontrou uma nova maneira de viajar no tempo e de quebrar a estrutura causal sem nenhum ingrediente impossível. E o resultado é o universo de Gödel, onde a viagem no tempo não é apenas possível: é inevitável.
Vale, então, fazer uma viagem ao universo de Gödel, começando por uma revisão de relatividade básica. Na teoria da relatividade, espaço e tempo não estão claramente separados: ambos fazem parte de um objeto quadridimensional chamado espaço-tempo. Dependendo do movimento e da gravidade, espaço e tempo se misturam, trocando entre si. A maneira clássica de representar isso é com um diagrama espaço-temporal com apenas uma dimensão de espaço. Tudo se move para cima através do tempo, mas, se você também se move pelo espaço, segue uma linha inclinada. Inclinações mais suaves indicam velocidades maiores, e 45 graus representa a velocidade da luz. Como nada pode viajar mais rápido que a luz, você só pode influenciar partes do futuro dentro desse cone, seu cone de luz futuro. Enquanto isso, seu cone de luz passado representa as partes do passado que poderiam ter tido influência sobre você. Nenhum sinal possível poderia conectá-lo às regiões fora desses cones. As trajetórias dentro dos cones são chamadas de tipo tempo, porque nelas o movimento para cima através do tempo é maior que o movimento lateral pelo espaço. Trajetórias para as zonas proibidas são chamadas de tipo espaço, onde mais espaço do que tempo é percorrido, e isso é supostamente impossível.
Mas tentemos mesmo assim. Suponha que saltemos numa nave e aceleremos para longe da Terra, atingindo rapidamente uma grande fração da velocidade da luz. A relatividade nos diz que meu eixo temporal se inclina em relação ao eixo da Terra. Da perspectiva da Terra, minhas coordenadas de tempo e espaço se misturam: meu relógio desacelera, meu comprimento contrai. Se eu realmente atingisse a velocidade da luz, meu relógio pararia. E se eu pudesse ir mais rápido, bem, da perspectiva de pelo menos alguns observadores, meu relógio na verdade se inverte, e pareço me mover para trás no tempo. Isso equivale a sair do seu cone de luz. Uma vez que você consegue fazer isso, o passado fica acessível. A impossibilidade do movimento superluminal está diretamente conectada à impossibilidade da viagem no tempo na relatividade especial: ambas estão incorporadas via transformação de Lorentz. Isso é a proteção absoluta da estrutura causal do espaço-tempo na ausência de gravidade.
A gravidade muda as coisas porque curva o caminho da luz, podendo assim inclinar nosso cone de luz futuro. Por exemplo, ao se aproximar de um buraco negro, os caminhos de luz são curvados pela gravidade do buraco negro, e assim nosso cone de luz se curva em direção ao horizonte de eventos, enquanto todo o nosso futuro acessível acaba dentro do buraco negro. E abaixo do horizonte de eventos, o cone de luz se inclina completamente para o lado, o que significa que a direção para baixo se torna nossa nova coordenada temporal. Ora, se fosse possível virar e manter seu cone de luz alinhado assim, de fato seria possível viajar de volta no tempo. Mas dentro de um buraco negro não é possível virar: seu futuro só aponta para baixo.
Numa revisão necessária desse quadro: num buraco negro em rotação, um buraco negro de Kerr, existe uma região bem no interior onde o movimento angular se torna do tipo tempo. O espaço gira tão rapidamente que um caminho circular te traz de volta ao ponto de partida no mesmo instante em que você saiu. Chamamos isso de curva tipo tempo fechada, ou CTC. É do tipo tempo porque você nunca viola a relatividade saindo do seu cone de luz para frente. Essas regiões do buraco negro de Kerr podem nem mesmo existir de fato, e, em qualquer caso, é um tipo bastante inútil de viagem no tempo, porque você está preso atrás do horizonte de eventos de qualquer forma.
Podemos forçar curvas tipo tempo fechadas para as partes acessíveis do universo dobrando o espaço-tempo de várias maneiras exóticas: buracos de minhoca, drives de dobramento etc. Mas, em todos os casos, isso exige algum tipo de energia negativa. E então veio Gödel.
Mesmo antes de Roy Kerr chegar à solução do buraco negro em rotação, Gödel percebeu que o movimento rotacional era a chave para a viagem no tempo. O efeito geral com o qual ele trabalha é chamado de arrasto de referencial, o torcionamento do espaço-tempo devido a uma massa em rotação, e isso foi de fato medido. O Gravity Probe B enviou um giroscópio em órbita ao redor da Terra. Um giroscópio supostamente sempre aponta na mesma direção: de fato, Gödel chama o dispositivo de “bússola inercial” em seu artigo. Mas o giroscópio do Gravity Probe B girou lentamente a partir de seu apontamento original enquanto orbitava, tanto devido à curvatura gravitacional quanto ao espaço-tempo torcido, o arrasto de referencial causado pela rotação da Terra. Esse deslocamento angular é acompanhado por um deslocamento no tempo. Mas, no caso do arrasto de referencial da Terra, o efeito é fraco demais para ser medido. Em princípio, porém, se você viaja ao redor da Terra do jeito certo, seu relógio desacelera devido ao movimento angular, embora nunca o suficiente para congelar completamente o tempo. Mesmo ao redor de um buraco negro em rotação rápida, não há curvas tipo tempo fechadas no exterior do buraco negro, apenas bem no interior.
Mas Gödel percebeu que esse efeito de arrasto de referencial ainda poderia quebrar a causalidade se ocorresse num espaço-tempo onde o efeito pudesse se acumular. A chave é descrever um espaço-tempo que tenha uma torção fundamental em toda parte: todos os pontos sentem o arrasto de referencial, não apenas ao redor de objetos individuais em rotação. Dizemos então que ele tem vorticidade global: todos os pontos do espaço-tempo giram em relação aos vizinhos, não como se cada ponto estivesse girando em torno de si mesmo, mas como se houvesse um vórtice de linhas de mundo num espaço-tempo 4D infinito sem centro.
Há outros requisitos. Uma curvatura negativa, ou geometria hiperbólica, é necessária para permitir essa rotação sem centro. E um equilíbrio entre matéria positiva suave e energia escura negativa é necessário para manter esse universo estático em tamanho. Mas, ajustado corretamente, Gödel mostrou que tal universo pode ser repleto de curvas tipo tempo fechadas.
Vejamos como isso parece. A forma de sela é uma representação de um espaço hiperbólico bidimensional, reservando a direção Z para o tempo, de modo a empilhar esses planos para representar um universo 4D. Ampliando, parece plano localmente, mas a curvatura negativa ainda está lá. Você não nota nada estranho ao se mover por esse espaço, ainda que a torção subjacente esteja presente. Você percebe isso quando o tempo avança e partículas vizinhas começam a seguir trajetórias torcidas. A partir de qualquer ponto nesse espaço, ao se mover para fora, seu cone de luz se inclina em relação ao referencial do seu ponto de partida. E além de certa distância, o horizonte de Gödel, ele se inclinou o suficiente para permitir a viagem de volta ao passado, ou ao menos para recuperar parte do tempo gasto viajando. Mas, com uma rota cuidadosamente planejada, viajando em loop, é possível direcionar seu cone de luz futuro para que eventualmente contenha seu ponto de partida.
Outra maneira de pensar sobre isso: ao misturar tempo com a coordenada angular, o movimento em loop pode substituir o movimento através do tempo, podendo até mesmo inverter o movimento temporal. É isso mesmo: Gödel inventou o virador do tempo. Vire o suficiente e você viaja para trás no tempo, mas com restrições: é preciso viajar para além do horizonte de Gödel a partir do seu ponto de partida, o que significa que não basta girar no lugar para entrar no passado.
As possibilidades de viagem no tempo do universo de Gödel são fascinantes, mas não são o ponto central. O ponto central é que essa solução para a equação de Einstein é um contraexemplo à ideia de que a relatividade geral de base, a equação de Einstein mais a condição de energia fraca, são suficientes para garantir universos sensatos. Antes disso, qualquer espaço-tempo de RG válido poderia ser fatiado em camadas de “agoras” consecutivos, onde a configuração exata de tudo, as partículas e os campos de cada uma dessas fatias, pode ser usada para gerar a fatia seguinte. Esse determinismo global perfeito não vale no universo de Gödel, e o passado e o futuro se tornam emaranhados e não claramente definíveis. Gödel provou que a relatividade geral não garante espaços-tempos com uma ordenação causal rígida.
Ao menos em alguns casos, como no universo de Gödel, não podemos dizer se A causou B ou se B causou A. O que Gödel realmente mostrou foi que a proibição contra energia negativa não era suficiente para garantir universos sensatos. Outros vieram e propuseram novas condições. A hiperbolicidade global foi proposta como requisito explícito, sem nada a ver com geometrias hiperbólicas: basicamente afirma que, para qualquer solução fisicamente razoável da relatividade geral, qualquer fatia de tempo constante deve determinar completamente a próxima fatia de tempo constante, e isso deve ser verdade independentemente de como se faz esse fatiamento temporal.
E então veio a conjectura de proteção cronológica de Stephen Hawking, que argumenta que qualquer espaço-tempo que permita curvas tipo tempo fechadas é instável: a retroalimentação da energia de vácuo viajando no tempo causaria uma reverberação definitiva e colapsaria o universo.
Esse é, realmente, o presente que Gödel deu a Einstein no aniversário: o ímpeto para que futuras gerações de físicos continuassem a trabalhar na maior teoria de Einstein. Gödel não quebrou de fato a RG, mas mostrou ao resto de nós onde estão algumas das poucas fissuras remanescentes, fissuras que podem, com o tempo, levar novos Einsteins e novos Gödels a teorias mais profundas. Um presente de aniversário e tanto: o espaço-tempo virador do tempo de Gödel.
