Gatos são curiosos e fofos. Eles também são feitos de células que são feitas de moléculas que são feitas de átomos que são feitos de partículas que são feitas de campos quânticos. Mas os campos quânticos não são nem curiosos nem fofos. Eles não têm qualidades subjetivas e têm uma fisicalidade questionável. Eles parecem ser completamente descritíveis apenas por números, e seu comportamento precisamente definido por equações. Em certo sentido, o mundo quântico é feito de matemática. Então, isso significa que os gatos são feitos de matemática também? Se você acredita na Hipótese do Universo Matemático, então sim. E você também.
Em seu ensaio “A Eficácia Inesperada da Matemática”, o físico Eugene Wigner disse que “a enorme utilidade da matemática nas ciências naturais é algo próximo ao misterioso”. Essa afirmação foi inspirada pela observação de que muitos aspectos do mundo físico parecem ser descritíveis e previsíveis por equações matemáticas com uma precisão incrível. A ideia de que o universo é, de alguma forma, matemático tem milhares de anos. Pitágoras ensinou que todas as coisas são feitas de números. Platão também tinha algumas noções, às quais voltarei. Mas foi o programa de reducionismo da física moderna que realmente inspirou a afirmação de Wigner.
Uma a uma, as teorias aparentemente díspares na física revelaram-se casos especiais de leis matemáticas mais elegantes e subjacentes, até que ficamos apenas com duas equações descrevendo toda a natureza: a Lagrangiana do modelo padrão da física de partículas e as equações de campo de Einstein da relatividade geral. Toda a incrível complexidade que vemos no universo — da biologia à cultura humana — parece emergir ultimamente da matéria, do espaço e do tempo como quantidades numéricas que obedecem a essas equações. Então, se podemos descrever a realidade básica em termos puramente matemáticos, podemos dar um passo adiante? E se dissermos que o universo não é apenas descrito pela matemática, mas, de uma maneira mais fundamental, ele realmente é matemática?
Esta é a proposta do cosmólogo do MIT Max Tegmark. Ele a chama de Hipótese do Universo Matemático. Ela afirma que: nossa realidade física externa é uma estrutura matemática. Tegmark argumenta a favor de sua hipótese, definindo primeiro o conceito de bagagem. Qualquer teoria em física sempre vem com dois componentes: um conjunto de equações e um monte de sentenças explicando exatamente como essas equações se relacionam com nossas intuições humanas e o que podemos observar através de experimentos. Por exemplo, a mecânica quântica é geralmente apresentada em livros didáticos como um punhado de equações junto com uma lista de postulados relacionados às equações, escritos em inglês simples — bagagem, como Tegmark chama.
Tenho que dizer que a escolha de Tegmark da palavra “bagagem” pode ser uma dica de seu viés em relação à primazia da matemática sobre qualquer coisa não matemática. Tegmark aponta um padrão na proporção matemática-bagagem nas teorias da natureza. Primeiro, vamos organizar o mundo em uma hierarquia de emergência. Por exemplo, você pode dizer que a cultura humana emerge de mentes individuais, que emergem da dinâmica neural dos cérebros, que emergem das ações das células, que emergem de moléculas, que emergem de átomos e campos quânticos. Em termos de campos científicos, essa lista corresponde a sociologia, depois psicologia, depois neurociência, depois biologia, depois química, depois física. E talvez então você tenha uma teoria de tudo presumida no fundo. Em princípio, cada teoria em um desses campos poderia ser derivada das teorias abaixo dela.
Tegmark aponta que as teorias no topo são principalmente linguagem humana regular, enquanto as teorias no fundo são principalmente matemática. Um livro didático de sociologia estará cheio de parágrafos de texto, enquanto um livro didático de teoria das cordas é preenchido de cabo a rabo com teoria dos grupos e topologia algébrica. Se você estiver disposto a extrapolar essa tendência, então talvez no fundo da hierarquia, nossa cobiçada teoria de tudo, não precise haver bagagem alguma, apenas um conjunto de equações elegantes. Se definirmos bagagem como as coisas que codificam a relação entre as equações e nossa perspectiva humana, então se você remover os humanos, você remove a bagagem. Então, agora invocamos a hipótese da realidade externa: a suposição de que existe uma realidade física externa que existe independentemente de nós; e que os humanos e nossas mentes carregadas de bagagem emergem dessa realidade básica sem bagagem. Na visão de Tegmark, isso deixa apenas a matemática para nossa descrição dessa realidade. Se não há mais nada, digamos, a um elétron além de um conjunto de números que descrevem sua posição, momento e carga, podemos dizer que o elétron simplesmente é esse conjunto de números?
A Hipótese do Universo Matemático se baseia na noção de que existência matemática equivale a existência física. Esta é a parte mais controversa da ideia, mas a parte mais perturbadora é a implicação dessa afirmação. Se a existência matemática implica existência física, então, de acordo com Tegmark, qualquer coisa que existe matematicamente também existe fisicamente. Mais precisamente, qualquer estrutura matemática autossuficiente que possa ser escrita pode ser dita como existindo matematicamente, e portanto também existe fisicamente da mesma forma que nosso universo.
A propósito, neste contexto, uma estrutura matemática é um conjunto de objetos matemáticos que obedecem a certos axiomas. E objetos matemáticos são entidades do tipo número, como os inteiros, os números reais, vetores, etc., e as coisas que relacionam essas entidades, como operadores, funções e assim por diante. Cada estrutura independente e autossuficiente manifesta-se como um universo em algum lugar. Então, o que começou como uma espécie de afirmação intuitiva sobre a física resultou em uma afirmação sobre uma infinidade de universos paralelos—o que Tegmark chama de multiverso de Nível 4. É um multiverso muito maior do que os outros tipos—do multiverso de nível 1 que você obtém do espaço infinito gerado pela inflação eterna, ao multiverso de nível 2 onde as constantes fundamentais mudam ao longo desse espaço, ao nível 3 onde o universo se divide em trilhas paralelas do multiverso quântico. O Nível 4 potencialmente abrange todos esses, potencialmente permitindo uma realização de cada um dos níveis inferiores para cada conjunto consistente de leis matemáticas.
OK, vamos controlar isso um pouco. Antes de eu acreditar em um novo tipo de multiverso, tenho apenas uma ou duas perguntas. O que significa para o universo ser “feito de matemática”, realmente? Que tipos de universos matemáticos existem por aí? Essa ideia pode nos dizer algo sobre por que vivemos em um universo com nosso conjunto particular de equações? E essa ideia é remotamente plausível e testável?
Primeiro — o que “feito de matemática” significa? Como uma equação ou um número pode ter um tipo de existência fundamental? A ideia é semelhante à Teoria das Formas de Platão — a ideia de que existe um reino de versões idealizadas e arquetípicas das coisas que encontramos no mundo real. É um tipo de espaço conceitual, onde existem as noções quintessenciais das coisas — o gato fundamental, a essência da beleza, a esfera perfeita, etc. As formas no mundo material são apenas aproximações grosseiras desses ideais platônicos. No platonismo matemático, entidades matemáticas — números, formas geométricas, funções, operadores, etc. existem independentemente do mundo material. Mas Tegmark leva isso um passo adiante e sugere que a existência abstrata da matemática é tudo o que existe.
Há um debate contínuo e não resolvido sobre se a matemática tem uma existência fundamental “lá fora” e é descoberta pelos humanos, ou se é inventada por nós. Por enquanto, vamos apenas assumir a primeira. Mas ainda assim, temos que perguntar como um monte de matemática abstrata pode acabar parecendo um universo. Para gerar um universo a partir de equações, essas equações precisam ser implementadas. Números precisam ser inseridos na calculadora cósmica ou algo assim. Isso sugere que você precisa de um substrato computacional para implementar a matemática. Mas na história de Tegmark, esse não é o caso. Ele define suas estruturas matemáticas platônicas para incluir não apenas os objetos matemáticos brutos como números e operadores, mas também todas as possíveis instâncias deles. A implementação real não é necessária — a mera possibilidade de implementação é suficiente para conceder a uma estrutura matemática sua realização física completa.
Nesta visão, nosso próprio universo é apenas uma das muitas possíveis estruturas matemáticas. Não conhecemos sua natureza completa, mas ele incorpora as estruturas matemáticas conhecidas da relatividade geral e da teoria dos campos quânticos. Podemos imaginar um número enorme — talvez infinito — de diferentes estruturas matemáticas. Podemos mudar o número de dimensões, a topologia do espaço-tempo, os graus de liberdade dos campos quânticos, em geral — poderíamos mudar as leis da física. Mas estruturas matemáticas completamente diferentes também são possíveis. Por exemplo, o conjunto de inteiros com as regras da aritmética é uma estrutura matemática. De acordo com a Hipótese do Universo Matemático, todas essas têm uma existência física. Legal.
Então, isso significa que eu poderia pegar minha arma de portal e visitar qualquer universo que eu possa imaginar? De jeito nenhum. Dizer que todas as estruturas matemáticas existem fisicamente não é o mesmo que dizer que todos os universos imagináveis existem. A condição de Tegmark é que apenas estruturas matemáticas autossuficientes existem. Dentro de uma estrutura matemática, é possível fazer teoremas — estas são declarações na linguagem dessa estrutura que são prováveis de serem verdadeiras. De acordo com o matemático David Hilbert, uma estrutura matemática consistente é aquela na qual não é possível provar e refutar simultaneamente um dado teorema nessa estrutura. Tegmark propõe que todas as estruturas matemáticas que não têm contradições internas têm uma manifestação física correspondente.
Para explicar por que vemos o universo particular que vemos, precisamos invocar o princípio antrópico em sua versão fraca. Naturalmente, vamos ver apenas uma estrutura matemática na qual observadores podem emergir. Nossa estrutura tem a complexidade interna e o ajuste fino de seus detalhes para que estruturas matemáticas autoconscientes surjam dentro da estrutura maior. Esses somos nós, a propósito. Observamos a estrutura por dentro, quando você joga o tempo na direção certa. Mas também há uma visão externa, onde toda a estrutura, incluindo todos os pontos no tempo, simplesmente existe. Isso está relacionado à ideia de tempo em bloco na relatividade, na qual o passado e o futuro têm uma existência eterna quando vistos de fora da realidade.
OK, tudo isso soa totalmente razoável e intuitivo, certo? Hm. Vamos olhar algumas possíveis objeções. Vários dos grandes pensadores da física moderna sentiam muito fortemente que a matemática NÃO é um aspecto fundamental da realidade externa. Em vez disso, eles acreditavam que nossas descrições matemáticas da natureza eram, no máximo, modelos de nossa experiência da realidade. Essas opiniões foram expressas por Arthur Eddington, James Jean, Erwin Schrödinger, Niels Bohr e Werner Heisenberg, entre outros. Jean descreveu os métodos matemáticos da física como sendo incapazes de nos colocar em contato com a realidade última. Em vez disso, eles nos levam a um mundo de sombras de símbolos, como Eddington colocou.
E há realmente algumas boas evidências de que a matemática é realmente apenas uma construção humana limitada, em vez de uma linguagem cósmica perfeita. Por muito tempo, pensava-se que todas as declarações em uma boa estrutura matemática tinham que ser inequivocamente verdadeiras ou falsas, e que qualquer valor de verdade poderia ser rigorosamente provado. Mas na década de 1930, o matemático Kurt Gödel abalou os fundamentos da matemática com seus famosos teoremas da incompletude. Há muito a se desvendar sobre isso em detalhes, mas para nossos propósitos, ele diz que em qualquer estrutura matemática que contenha pelo menos aritmética básica, é possível escrever declarações matemáticas que não são nem verdadeiras nem falsas — elas não podem ser provadas como certas ou erradas usando as regras dessa estrutura matemática. Chamamos essas declarações de indecidíveis.
Então, se a estrutura matemática que descreve nosso mundo contém equações que não são nem verdadeiras nem falsas, então existem leis da física que não são nem verdadeiras nem falsas. Isso viola um dos princípios básicos da Hipótese do Universo Matemático — que suas estruturas matemáticas devem ser internamente consistentes. Também nos dá alguma dúvida de que um mundo platônico de matemática perfeita seja um conceito significativo. Os teoremas da incompletude parecem problemáticos, mas talvez possamos contornar o problema dizendo que as únicas estruturas matemáticas que existem são aquelas que são totalmente decidíveis. Uma maneira de fazer isso é exigir que a estrutura contenha apenas funções computáveis. Uma computação é o conceito abstrato de um programa que recebe algum valor numérico, faz algumas operações nele usando um modelo computacional como uma máquina de Turing, e gera algum outro valor numérico. Se uma função pode ser computada, presumivelmente ela é decidível.
No entanto, nem todas as computações são imunes à indecidibilidade. O problema da parada de Alonzo Church e Alan Turing afirma que nem é possível determinar se uma dada função será computável em um número finito de passos, e isso está relacionado à indecidibilidade de Gödel. Para satisfazer o requisito de autossuficiência da Hipótese do Universo Matemático, agora precisamos exigir que, para se qualificar para a existência física, uma estrutura matemática inclua apenas funções que possam ser executadas como computações que requerem passos finitos. Com tudo isso em mente, Tegmark propõe uma Hipótese do Universo Computacional atualizada. Ela confere existência física a todas as estruturas matemáticas computáveis. Mas note que ele ainda não está exigindo que as computações realmente sejam executadas — em vez disso, elas existem por virtude de serem computáveis em princípio.
Tegmark certamente não é o primeiro a imaginar o universo como uma computação, a propósito — embora sua hipótese abrangeria todos os possíveis universos desse tipo. Nota lateral divertida: essa ideia tem uma consequência estranha para a hipótese da simulação: a ideia de que podemos estar vivendo em uma simulação. Se todos os universos simuláveis já existem, precisamos postular um simulador para nosso próprio universo?
OK, então a Hipótese do Universo Matemático é plausível? Bem, o fato de Tegmark ter que fazer algumas contorções intelectuais sérias para contornar a indecidibilidade de Gödel é um ponto contra a elegância simples da hipótese básica. A noção de existência platônica da matemática também é problemática, como mencionei. Por outro lado, a existência platônica pode não ser mais estranha do que a ideia de realidade física surgindo sem uma causa anterior. O mistério da causa primordial é frequentemente expresso com a pergunta “Por que há algo em vez de nada?” Essa formulação tem uma suposição implícita de que “nada” é o estado padrão da realidade. Se você inverter isso, pode dizer que a existência é o estado padrão, e que tudo o que é possível existe. Este é o Princípio da Fecundidade, ou Princípio da Plenitude. A hipótese de Tegmark refina o que “possível” significa nesses contextos.
E finalmente, essa ideia é testável? Atualmente não. O único teste óbvio é através do raciocínio antrópico. Devemos esperar nos encontrar na estrutura matemática mais típica capaz de suportar nossa existência, mas até sabermos quais estruturas são possíveis, isso é impossível de avaliar. Então, somos feitos de matemática? Bem, para encontrar a resposta, a Hipótese do Universo Matemático precisará ser desenvolvida até o ponto em que faça previsões testáveis. Mas talvez então ela possa nos dizer por que, entre todos os possíveis multiversos de nível 4, nos encontramos neste espaço-tempo matemático particular.
